2015年1月現在、IBM IBMInternational Business Machines Corp151。 58-1。 15％ Highstock 4.で作成。2. 6 株式は155ドルで取引されており、今後1年以内に上昇すると予想しています。高い売買価格の株式購入と比較して、小さなオプション・コスト（オプション・プレミアム）に基づいて高い割合の利益から恩恵を受けることを期待して、155ドルのATMストライキ価格でIBM株式のコール・オプションを購入するつもりです。 IBMのこのコール・オプションの公正価値はどうあるべきですか？ （関連する読書については、 呼び出しオプションを使用して利益を上げるための3つの方法 を参照）

<！今日は、Black-Scholesモデルや二項ツリーモデルなど、いくつかの既成の方法を使ってオプションを評価することができ、迅速な回答が得られます。しかし、そのような評価モデルに到達するための根本的な要因と運転概念は何か？これらのモデルの概念に基づいて、類似のものを準備することはできますか？

ここでは、オプションなどの資産の評価モデルを構築するためのフレームワークとして使用できるビルディングブロック、基礎概念、および要因をカバーし、Black- Scholes（BS）モデル（追加の読書については、

オプション価格設定：Black-Scholes Model を参照）。 <！ - 2 - >

この記事は、BSモデルの前提条件やその他の要因（これはまったく別の話題です）に挑戦するつもりはありません。むしろ、ブラック・ショールズ・モデルの根底にある概念と、評価モデル開発の考え方を説明することを目的としています。

ブラック・ショールズ以前の世界

ブラック・ショールズ以前は、均衡に基づく資本財価格モデル（CAPM）が広く行われていた。投資家の嗜好に基づいて、リターンとリスクは互いにバランスをとっていた。 e。高いリスクを取っている投資家は、同様の割合で高い収益率（潜在的可能性）で補償されることが期待されていました。

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BSMモデルはCAPMに根ざしています。フィッシャー・ブラック氏によれば、「

私は、可能なすべての株価とワラント価値 について、資本資産価格モデルをワラントの生涯のあらゆる瞬間に適用した。残念ながら、CAPMはワラント（オプション）価格設定の要件を満たすことができませんでした。 Black-Scholesは、裁定取引の概念に基づいた最初のモデルであり、リスクベースモデル（CAPMなど）からパラダイムシフトしています。この新しいBSモデル開発は、完全にヘッジされたポジションがリスクフリーレートを獲得するという事実を認識して、CAPM株式リターンコンセプトを置き換えました。これにより、リスクとリターンの変動が取り除かれ、リスク・ニュートラル・コンセプトの仮定に基づいて評価が行われる裁定裁定という概念が確立されました。ヘッジされた（リスクフリーの）ポジションはリスクフリーの収益率につながります。

価格モデル（Black-Scholes）の開発

まず、問題を確立し、それを定量化し、その解決の枠組みを開発することから始めましょう。私たちは、IBMのATMコール・オプションを評価するための例として、$ 155のストライク・プライスと1年間で期限切れにすることを続けます。

コールオプションの基本定義に基づいて、株価がストライク価格水準に当たっていない限り、報酬はゼロのままです。そのレベルをポストすると、ペイオフは直線的に増加する（すなわち、基礎となる1ドルの増加は、コールオプションから1ドルの利益をもたらす）。

バイヤーと売り手が公正価値評価（ゼロ価額を含む）に同意すると仮定すると、このコールオプションの理論上の公正価格は、（オプション価格設定

を参照してください） >コールオプション価格=基礎となる場合はコールオプション価格= $ 0（基本グラフ<赤色グラフ）

コールオプション価格=（基礎 - ストライク）、基礎> =ストライク（青色グラフ） これはオプションの内在的価値コールオプションの買い手の立場からは完璧です。赤い地域では、買い手と売り手の両方が公正な評価をしています（売り手にはゼロ価格、買い手にはゼロ報酬）。しかし、売り手が損失を被る間に、買い手はプラスの利益を得るという利点があります（下の価格がストライク価格を上回る場合）。これは、買い手がゼロ価格で売り手より有利な点です。売り手が自分が取っているリスクを補償するためには、価格設定がゼロでない必要があります。前者の場合（赤グラフ）、理論的には、売り手はゼロ価格を受け取り、買い手の利益率はゼロである（両者には正当である）。後者の場合（青色のグラフ）、基礎とストライキの差額は、売り手が買い手に支払うものとします。売り手のリスクは、1年全体の期間にわたって発生します。例えば、基礎となる株価は非常に高く（例えば4ヶ月間で200ドル）、売り手は買い手に$ 45の差額を支払う必要があります。 それゆえに、それは次のようになる：

• 基礎となる価格がストライク価格を横切るか？
• もしそうなら、（買い手への報酬を決定するように）基礎価格がどれくらい高くなることができますか？

これは売り手が抱える大きなリスクを示しています。これは、自分が取っているリスクについて何も得られない場合、誰がそのようなコールを売るのでしょうか？

私たちの目標は、売り手が買い手に請求する単一の価格に到達することであり、買い手は、彼が1年以上かかる全体のリスクを補償することができます。ゼロ支払い領域（赤）と線形支払い領域（青色）。価格は、買い手と売り手の両方にとって公正で受け入れやすいものでなければなりません。もしそうでなければ、不当な価格を支払うか、受け取るという点で不利になる者は市場に参入せず、それによって取引ビジネスの目的を破ってしまうでしょう。ブラック・ショールズ・モデルは、株式の価格変動、金銭の時間価値、オプションのストライキ価格、オプションの期限までの時間を考慮して、公正な価格を設定することを目指しています。BSモデルと同様に、独自のメソッドを使用してこの例を評価するためにアプローチする方法を見てみましょう。

ブルー地域の本質的価値を評価する方法

1. 将来の予想価格動向を予測するために、いくつかの方法があります。
2. 同じ期間の同様の価格変動を最近分析できます。過去のIBMの終値は、過去1年間（2014年1月2日から2014年12月31日まで）、価格は160ドルに下がったことを示しています。 44から$ 185。 53、13.5％の減少。 -13と結論できますか？ IBMの5％価格改定？

詳細なチェックは、それが199ドルの年間最高額に触れたことを示します。 21日（2014年4月10日）、年間最低$ 150です。 5（2014年12月16日） 2014年1月2日の開始日と185ドルの終値に基づいています。図53では、変化率は+7から変化する。 37％〜-18。 88％。今や、変動範囲は、以前の13.5％の計算された減少に比べてはるかに広いように見える。歴史的データに関する同様の分析および観察を行うことができる。価格モデルの開発を続けるには、この単純な方法論を将来の価格変動を測定すると仮定しましょう。

IBMは、過去20年間の過去データに基づいて、毎年10％増加すると仮定します。基本的な統計によると、過去のパターンが繰り返されると仮定すると、IBMの株価が+ 10％前後に変動する確率は、IBMの価格が20％上昇する確率が30％になる確率よりはるかに高くなります。同様の履歴データポイントを確率値で収集すると、1年間の期間におけるIBMの株価の総合期待収益率は、確率と関連するリターンの加重平均として計算できます。たとえば、IBMの過去の価格データが、以下のような動きを示すとします。

（〜10％）25％、

+ 10％35％、

• + 15％20％ 999 + 20％10％、599％+ 25％5％、999％（-15％）である。したがって、加重平均（または期待値）は、次のようになります。（10％* 25％+ 10％* 35％+ 15％* 20％+ 20％* 10％+ 25％* 5 ％ - 15％* 5％）/ 100％= 9 6。 5％。 e。平均してIBM株式の価格は+6を返すと予想されています。すべてのドルに対して1年間の時間で5％。誰かがIBMの株式を1年間の地平線で購入し、購入価格が155ドルであれば、155 * 6の純収益率が期待できます。 5％= 10ドル。 075.
• ただし、これは株式リターンのためのものです。コールオプションの同様の期待リターンを探す必要があります。ストライク・プライス（現行の$ 155 - ATMコール）以下のコールのゼロ・ペイオフに基づいて、すべてのマイナスの動きはゼロ・ペイオフを発生させるが、ストライク・プライスを超えるすべてのポジティブ・ポジションは同等のペイオフを生じる。したがって、コールオプションの期待リターンは次のようになります。

（999 -0％

25％+ 10％* 35％+ 15％* 20％+ 20％* 10％+ 25％* 5 ％999 999％5％）/ 100％999。 75％。i。 e。このオプションを購入することに投資した100ドルごとに、9ドルが期待できる。 75（上記の仮定に基づく）。しかしながら、これは依然として本質的なオプションの金額の公正な評価に限定されており、その間に発生する可能性のある高額の変動についてはオプション売り手が負うリスクを正確には把握していない（上記のintentionの場合高値と安値）。内在的な価値に加えて、売り手と売り手がどのような価格で合意できるので、売り手は1年間の時間枠を引き継いでいるリスクをかなり補いますか？

• これらの変動は幅広く変動する可能性があり、売り手はどれくらいの補償をしたいのかについて独自の解釈をする可能性があります。ブラック・ショールズ・モデルは、欧州型のオプション、すなわち、 e。有効期限前に運動をしないでください。したがって、中間価格スイングの影響を受けず、エンドツーエンドの取引日に基づいて評価されます。
• 実際の日取引では、このボラティリティはオプション価格を決定する上で重要な役割を果たします。私たちがよく見る青い報酬関数は、実際には有効期限の支払いです。現実的には、オプション価格（ピンクグラフ）は常に報酬（青色グラフ）よりも高く、売り手がリスクを取る能力を補うために取った価格を示しています。このため、オプション価格はオプション「プレミアム」とも呼ばれ、基本的にリスクプレミアムを示しています。
• これは、株価にどの程度のボラティリティが期待されているか、どれくらいの期待値が得られるかに応じて、当社の評価モデルに含めることができます。 （9）BSモデルは、N（d1）とN（d2）の使用を正当化する株価変動の対数正規分布を仮定している。 ）。
• 最初の部分では、Sは現在の株価を示しています。
• N（d1）は、現在の株価変動の可能性を示す。
• このオプションがバイヤーにこのオプションを行使させることを可能にするイン・ザ・マネーになると、彼は基礎をなすIBM株の1シェアを得ることになります。トレーダーが今日それを行使すれば、S * N（d1）はオプションの現在の期待値を表します。

第2部では、Xはストライキ価格を示す。
N（d2）は、株価がストライキ価格を上回る確率を表す。 したがって、X * N（d2）はストライキ価格を上回る
株価の期待値を表す。ブラック・ショールズ・モデルは、運動が最終的にしか可能なヨーロピアン・スタイル・オプションを仮定しているため、上記のX * N（d2）で表される期待値は、時間価値に対して割り引かれるべきである。したがって、最後の部分は、期間にわたる関心の率に上げられた指数項で乗算される。

2つの用語の正味の差異は、現在のオプションの価格価値を示している（第2項が割引されている）。

本発明の枠組みにおいて、そのような価格変動は、日中/イントワール価格の動きを含むように、より細かい間隔に範囲を拡張することによる予想される収益計算のさらなる改善

現在の日の活動を反映する（黙示的なボラティリティに類似する）現在の市場データの包含 現実の評価のために現在の日に戻し、現在の日の価値からさらに減らすことができる。したがって、定量分析のために選択される仮定、方法論およびカスタマイズには制限がないことがわかる。取引される資産または考慮される投資に応じて、自己開発型のモデルが開発される可能性があります。株式は変動性スキューがあり、為替変動は激しく、ユーザーは適用可能なボラティリティ・パターンをそのモデルに組み込むべきであることに注意することが重要です。仮定と欠点は、どのモデルでも不可欠な部分であり、現実世界の取引シナリオでのモデルの知識豊富なアプリケーションは、より良い結果を生み出すことができます。 （定量的分析の簡単な概要 を参照） 結論 複雑な資産が市場に参入したり、単純なバニラ資産が複雑な取引、分析は評価のために必須となっている。残念なことに、一連の欠点や前提条件がなくても、数学モデルはありません。最善の方法は、仮定を最小限に保ち、暗黙の欠点を認識することです。この欠点は、モデルの使用法と適用可能性に関する線を描くのを助けることができます。