現代でも、取引可能資産の正確な価格設定に合意することは非常に困難です。だから株価は絶えず変化し続けている。実際、会社は日々の評価をほとんど変えないが、株価とその評価は毎秒変わる。これは、取引可能な資産の現在の価格についてコンセンサスに到達することが困難であることを示し、裁定取引の機会をもたらす。しかし、これらの裁定取引の機会は実際には短命です。

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今日のバリュエーションに至るまでのすべてのこと - 今日の正しい現在の価格は、将来の期待利益のためには何ですか？競争市場では、裁定取引の機会を避けるため、同一のペイオフ構造を持つ資産は同じ価格でなければならない。オプションの評価は挑戦的な課題であり、裁定取引の機会につながる価格の高い変動が観察されています。 Black-Scholesは価格オプションに使用される最も一般的なモデルの1つですが、独自の制限があります。 （詳細については、

オプション価格設定 を参照してください）。二項オプション価格決定モデルは、価格設定オプションに使用される別の一般的な方法です。この記事では、いくつかの包括的な段階的な例について説明し、このモデルを適用する際の根本的なリスクニュートラルコンセプトについて説明します。 （関連する解説については、 二項モデルを分割してオプションを評価する を参照してください）。 <！ - 2 - >

この記事では、ユーザーにオプションと関連する概念と用語を熟知していることを前提としています。

現在の市場価格が100ドルである特定の株式にコール・オプションが存在すると仮定する。 ATMオプションの有効期間は1年で100ドルです。ピーターとポールの2人のトレーダーがいます。両者は株価が1年間に110ドルに上昇するか、90ドルに下落することに同意します。彼らはどちらも、1年間の所与の時間枠内の予想価格レベルに同意するが、上移動（および下移動）の確率には同意しない。ピーターは株価が110ドルになる確率は60％だと考えていますが、ポールは40％と考えています。

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上記に基づいて、誰がコールオプションの料金を支払う意思がありますか？

おそらくピーターは、彼が上の動きの高い確率を期待しているからです。

これを検証し理解するための計算を見てみましょう。評価が依存する2つの資産は、コール・オプションと基礎となる株式です。参加者の間では、基本的な株価が1年間で現在の100ドルから110ドルまたは90ドルに移行することができ、他の価格変動はあり得ないという合意があります。

裁定不能の世界では、これらの2つの資産（コールオプションとその基礎となる株式）を含むポートフォリオを作成しなければならない場合、その基礎価格がどこにあるかに関わらず（110ドルまたは90ドル）同じまま。このポートフォリオを作成するために、基礎となる短期コールオプションの「d」株を購入すると仮定します。

価格が$ 110になると、株式は$ 110 * dの価値があり、ショートコールの支払いで$ 10を失うことになります。ポートフォリオの正味価値は（110d - 10）です。

価格が$ 90に下落すると、当社の株式は$ 90 * dの価値になり、オプションは価値がなくなる。ポートフォリオの正味価値は（90d）になります。

株価がどこに行くのかにかかわらず、ポートフォリオ価値が同じであることを望む場合、当社のポートフォリオ価値はいずれの場合も同じに維持されるべきである。 e。 ：（110d-10）= 90d 9 => d = 1/2 999iである。 e。半分の株式を購入すると（部分的な購入が可能であると仮定して）、1年間の所与の期間内に両方の可能性のある州で価値が同じになるようにポートフォリオを作成します。 （ポイント1）

（90d）または（110d -10）= 45で示されるこのポートフォリオ値は、1年下落したものです。現在価値を計算するには、リスクフリーの収益率（5％と仮定）で割り引くことができます。ポートフォリオの現在価値

現在、ポートフォリオは基礎株式の1/2株を構成しているため（

= 90d * exp（-5％* 1年）= 45 * 0.9523 = 42. 85 =市場価格$ 100）と1回のショートコールでは、iで計算された現在の値と等しくなければなりません。 e。

=> 1/2 * 100 - 1 *コール価格= 42. 85 999 =>コール価格= $ 7。 14。 e。今日の通話料金。これは、基礎価格がどのように変化するかにかかわらず、ポートフォリオ価値が同じままであるという前提に基づいているため（上​​の1の点）、ここでの上昇または下降の可能性はここでは何の役割も果たさない。ポートフォリオは、基本的な価格動向にかかわらず、リスクフリーです。

両方の場合（110ドルへの移行、90ドルへの下降）、当社のポートフォリオはリスクに対して中立であり、リスクフリーの収益率を得る。

それで、トレーダー、ピーターとポールは両方とも、同じ$ 7を支払う意思があります。 （60％と40％）の異なる認識にかかわらず、このコールオプションについては、これらの個別に認識される確率は、上記の例から分かるように、オプション評価においていかなる役割も果たさない。

個々の確率が重要であると仮定すると、裁定取引の機会が存在するであろう。現実世界では、このような裁定取引機会はわずかな価格差で存在し、短期間で消滅します。

しかし、オプション価格に影響を及ぼす重要な（そして最も敏感な）要因である、これらの計算すべてにおいて、非常に激しいボラティリティがどこにあるのでしょうか？

ボラティリティは、すでに問題定義の性質に含まれています。価格水準（$ 110と$ 90）の2つ（そして2つしかない - したがって、 "2項"という名前）の状態を仮定していることを忘れないでください。ボラティリティはこの仮定に暗黙的に含まれているため、自動的に含まれます（この例では10％）。

ここで、一般的に使用されているBlack-Scholesの価格設定と正確で一貫しているかどうかを確認するための健全性チェックを行いましょう。 （参照：

ブラック・ショールズ・オプション評価モデル

）。

オプションの電卓結果（OICの礼儀）のスクリーンショットです。計算値とよく似ています。残念ながら、現実の世界は「2国のみ」ほど単純ではありません。有効期限までの在庫によって達成できるいくつかの価格レベルがあります。

これらの複数のレベルをすべて2つのレベルに制限された二項価格モデルに含めることは可能ですか？はい、非常に可能であり、理解するために、簡単な数学を試してみましょう。

いくつかの中間的な計算ステップは、要約され、結果に焦点を当てるためにスキップされます。

「X」は現在の株価であり、「X * u」と「X * d」は上下動の将来の価格です'年後。因子 'u'は移動を示し、 'd'は0と1の間にあるため、1より大きくなります。上記の例では、u = 1です。 1およびd = 0である。 コールオプションの有効期間は、有効期限が切れたときの上下動の場合、「P up

」および「P

dn

」です。

今日購入した短期間のコールオプションのポートフォリオを構築すると、時間t後：

up move = s * X * u -P

の場合のポートフォリオ価値下落の場合のポートフォリオの価値= X * d - P

dn _{いずれの場合も、価格変動の場合の同様の評価の場合、} => s * X * （99999999999999）/（X *（ud ））= no。リスクフリーポートフォリオのために購入する株式数 _{t年後のポートフォリオの将来価値は、} up move = s * X * u -P

up

（X（ud））* X * u - P 999 up 999上記の現在の値は、割引リスクフリーの収益率： _{これは、X価格での株式の保有ポートフォリオと、短期コール価値「c」と一致しなければならない。 e。現在の（s * X - c）の保持は上記と同じでなければならない。 cを解決すると、最終的にcが次のようになります。}

コールプレミアムを短くすると、ポートフォリオには追加できません。 _qを

とすると、上の方程式は

となります。qを使って方程式を並べ替えると、新しい視点が得られます。 "q"は基礎となる（qがP _up に関連し、 "1-q"がP _{dnに関連するので}

）。全体として、上記の式は現在のオプション価格iを表す。 e。有効期限におけるその利益の割引価値。 _{この確率「q」は、基礎となるものの上または下の移動の確率とどのように異なるか？} 時刻t = q * X * u +（1-q）* X * dにおける株価の値qの値を代入して並べ替えると、時刻tの株価は _{i 。 e。この2州の仮定された世界では、株式の価格はリスクフリーの収益率で単純に上昇する。 e。リスクのない資産とまったく同じであり、したがって、リスクとは独立しています。すべての投資家はこのモデルの下でリスクに無関心であり、これはリスク中立モデルを構成します。} 確率「q」および「（1-q）」はリスク中立確率として知られており、評価方法はリスク中立評価モデルとして知られている。

上記の例には重要な要件が1つあります。将来のペイオフ構造には精度（レベル$ 110と$ 90）が必要です。実際の生活では、ステップベースの価格レベルについてのこのような明快さは不可能です。むしろ価格はランダムに動き、複数のレベルに落ち着く可能性があります。

さらに例を拡張しましょう。 2段階の価格レベルが可能であると仮定する。今日のオプションを評価する必要がある（すなわち、最初のステップで） _{後ろ向きに働くと、中間の第1ステップ評価（t = 1）は、第2ステップ（t = 2）を計算し、これら計算された第1段階評価（t = 1）を使用して、上記の計算を使用して現在の評価（t = 0）に到達することができる。} オプション価格はno。 2では、4と5での報酬が使用されます。いいえの価格を取得する。図3では、5と6の報酬が使用されている。最後に、2と3の計算された報酬は、 _{この例では、両方のステップでアップ（およびダウン）の移動について同じ係数が仮定されています.U（およびD）は複合的に適用されます。} 現実的な計算例があります。 _{行使価格$ 110のPutオプションを現在$ 100で取引中で、1年間で期限切れにすると仮定します。年間リスクフリーレートは5％です。価格は20％上昇し、半年ごとに15％減少すると予想されている。} 問題を構造化しましょう： _{ここで、u = 1です。 2、d = 0.85、X = 100、t = 0。 P 999 upup 999条件では、基礎となる確率は= 100となる。ここで、P 999は、 * 1。 2 * 1。 2 = $ 144がP 999 upupにつながる= P 999 updn 999条件では、基礎は= 100 * 1となる。 2 * 0。 85 = $ 102につながり、P 999は$ 999になる。P 999の条件では、基礎は= 100 * 0となる。 85 * 0。 85 = 72ドル。 P< 999> dndn}

= $ 37につながる25。同様に、p 999は999未満であり、p 999は999未満であることを特徴とする請求項1に記載の方法。したがって、プット・オプションの値は、9999999 = 0である。したがって、プット・オプションの値は、999309912 *（0.35802832 * 8+（1-0.38282832）* 37.75）= 26。 975309912 *（0。35802832 * 5。008970741+（1-0.38802832）* 26. 42958924）= 999ドル。同様に、2項モデルは、オプション期間全体を壊して、さらに洗練された複数のステップ/レベルにすることを可能にする。コンピュータプログラムまたはスプレッドシートを使用して、一度に1ステップずつ逆方向に作業して、希望するオプションの現在価値を得ることができます。

2項オプション評価のための3つのステップを含むもう1つの例で結論を下しましょう。

ストライク価格$ 12および現在の基礎価格$ 10で満期になる9ヶ月のヨーロピアンタイプのプットオプションを仮定します。すべての期間にわたってリスクフリー率を5％と仮定する。各3ヶ月を仮定し、基礎価格は20％上または下に移動することができ、u = 1になります。 2、d = 0である。 8、t = 0。 25と3ステップの二項木。

赤色の数値は基礎価格を示し、青色の数値はプットオプションの利益を示しています。リスク中立確率qは0. 531446に計算される。上記のqの値およびt = 9ヶ月のペイオフ値を用いて、t = 6ヶ月の対応する値が次のように計算される。さらに、これらを使用してt = 6での計算値、t = 3での値、そしてt = 0での値は、以下の通りです。

putオプションの現在の日付値を$ 2とします。 Black-Scholesモデル（$ 2.3）を使用して計算されたものにかなり近い18

ボトムライン

コンピュータプログラムを使用することで、これらの集中的な計算を容易に行うことができますが、オプション価格設定のための二項モデルの大きな制限です。時間間隔が細かくなればなるほど、各期間の終わりに報酬を正確に予測することが困難になります。しかし、異なる時期に期待通りに変更を組み込む柔軟性がプラスされているため、早期の運動評価を含むアメリカの選択肢の価格設定に適しています。二項モデルを使用して計算された値は、オプション価格決定の二項モデルの有用性および正確性を示すBlack-Scholesのような他の一般的に使用されるモデルから計算された値と厳密に一致します。二項価格モデルは、トレーダーの好みに従って開発することができ、Black-Scholesの代替案として機能する。